נולד בשנת ה'תרס"ט במקנס שבמרוקו, לרחל לבית סודרי ולרב מימון משאש, מחבר ספר 'אוצרות שמים'. נקרא על שם סבו, הרב שלום משאש, שהיה רב ודיין בעיר מקנס וחיבר שו"ת 'דברי שלום'. מצד אם אביו הוא מצאצאי רבי רפאל בירדוגו. זיקתו של הרב משאש אליו התבטאה בהוצאת כתבי היד של ספרו "שרביט הזהב". בן דודו של אביו היה הרב יוסף משאש, רבה הראשי הספרדי של העיר חיפה. רחל, אמו של הרב היא גיסת הרב יהושע ברדוגו רבה של יהדות מרוקו, וכן אם אביו, ג'מילה אשת ר' שלום, היא אחותו של ר' יהושע ברדוגו.

החל ללמוד תורה מגיל צעיר, רבו המובהק היה הרב יצחק אסבאג. בגיל צעיר נהיה פוסק. ספרו 'מזרח שמ"ש' נכתב בהיותו בגיל 17 ונדפס בהיותו בן 25. בהקדמה לספר זה הוא מעיד על עצמו 'כל ימי נעורי לא ידעתי צורתא דזוזא (=לא ידעתי כיצד נראה מטבע כסף) וכל כסף תועפות נחשב בעיני לאַיִן נגד חשק תאוות לימוד תורה הקדושה'. הוא ניהל את קריית החינוך 'תלמוד תורה' שבעיר מקנס. בשיאו למדו במוסד זה כ-2,000 תלמידים.

בשנת תש"ד, לאחר שנרפא ממחלת טיפוס, הקים את ישיבת 'כתר תורה' במקנס. בעת ששימש בראשות הישיבה, ניסה הרב משה חי אליקים, ראב"ד קזבלנקה, לשכנע את הרב משאש לשמש כדיין בבית הדין שבראשותו, אך הוא סירב. רק בשנת ה'תש"ט, לאחר פטירת הרב אליקים, נענה הרב משאש לבקשת הדיינים והקהילה בקזבלנקה ליטול על עצמו את עול הדיינות, והחל לכהן בדיינות בעיר הגדולה קזבלנקה, בגיל 39. בהיותו בן 52 נבחר לכהן כרב ראשי וראש אבות בתי הדין בקזבלנקה, ובהמשך כיהן כרב הראשי של מרוקו כולה.

בשנת ה'תשל"ח עלה הרב משאש לישראל לכהן כרבה של ירושלים, ביוזמתם של הרבנים הראשיים, הרב עובדיה יוסף והרב שלמה גורן. בתפקיד זה כיהן הרב משאש כעשרים ושש שנה עד לפטירתו, בי בניסן ה'תשס"ג, בגיל 94. עשרות אלפי אנשים מכל קצות הארץ ומחוצה לה השתתפו בהלווייתו, ומקום קבורתו הפך למקום תפילה.